La forma del mundo.
(Apéndice 2) Los cinco
sólidos pitagóricos.
Un
“sólido platónico” es un poliedro regular convexo (Figura 1). Esto significa
que sus caras son polígonos regulares iguales y que en todos los vértices el
número de caras incidentes es el mismo. Además, se cumple la conocida fórmula
de Euler:
V – A + C = 2, (Ecuación 1)
donde V es el número
de vértices, A el número de aristas y C el número de caras.
Fig. 1. Los sólidos platónicos.
(Crédito: МаксимПе [CC BY-SA 4.0]
En tres de los sólidos las caras son
triángulos equiláteros:
-
el tetraedro, con V = 4, A = 6, C = 4,
-
el octaedro: V = 6, A = 12, C = 8,
-
el icosaedro: V = 12,
A = 30, C = 20;
en
el cubo o hexaedro, las caras son cuadrados, V=8, A=12, C=6; y en
el dodecaedro las caras son pentágonos regulares, V = 20, A = 30,
C = 12.
Estos
sólidos, que Sagan llama “pitagóricos”, se conocen desde hace miles de años. Para
Platón (427 a. C.-347 a. C.) representaban los componentes elementales
del mundo, respectivamente: el fuego, el aire, el agua, la tierra y la forma
del universo. La belleza extraordinaria de estos cuerpos
radica en su simetría, especular y rotacional, que ha atraído el interés de
muchos artistas a lo largo de la historia. Sus formas también aparecen en la
Naturaleza: hay minerales que cristalizan en forma de poliedro, como la pirita
de la Figura 2, y es posible que la observación de estos cristales esté en
el origen de las ideas de Platón. También aparecen en la disposición de los
átomos de ciertas moléculas [1], en los esqueletos de radiolarios [2] y en la
cápside de algunos virus [3].
Figura 2. Cristal de pirita.
(Crédito: RobLavinsky, iRocks.com [CC-BY-SA-3.0]
Solo
existen cinco sólidos platónicos. Una demostración ya aparece en los Elementos
de Euclides (325 a. C.-265 a. C.). Aquí, en vez de la prueba
algebraica que se daba en el libro original de Sagan, haremos otra, basada en
el hecho de que, en cada vértice, la suma de los ángulos internos de las caras incidentes
tiene que ser inferior a 360º.
En
un polígono regular de n lados, cada ángulo interno mide
a = 180 º
- 360º/n,
en
un poliedro, si r es el número de aristas (y también de caras) que inciden en
un vértice, tenemos
r • a < 360º,
como podemos comprobar si imaginamos que aplastamos el
vértice y abrimos las caras hasta ponerlas en un mismo plano. Como n no puede
ser inferior a 3, vemos que:
- para n = 3
tenemos r • 60 < 360, con lo que r = 3,4,5;
- para n = 4 es
r • 90 < 360, luego r = 3;
- para n = 5 es
r • 108 < 360, de donde r = 3,
- y para n superior no sirve ningún r, ya que r no puede
valer menos que 3.
Por otro
lado, como cada arista está bordeada por dos caras, al contar el número de
aristas tendremos n • C = 2A; y como cada arista tiene dos
vértices, será r • V = 2A. Si usamos estas fórmulas, la
Ecuación 1 se convierte en
1/r + 1/n = 1/A + 1/2,
que nos da, en cada caso, el
valor correcto de A, y a partir de ahí los de V y C. Con esto queda probado que
no hay más poliedros regulares.
En
Matemáticas, estos poliedros están relacionados con la teoría de grupos, por
sus simetrías; con la teoría de grafos, ya que se obtiene un grafo proyectando
sus aristas sobre el plano de una de sus caras; y, sobre todo, con la
Topología, pues la comprensión profunda de la Ecuación 1 llevó a Poincaré (1854-1912)
al impulso de esta nueva especialidad, cuando introdujo las nociones de homotopía
y homología.
La Ecuación 1 se
cumple también para los poliedros semi-regulares, por ejemplo los sólidos
platónicos con las esquinas truncadas (Figura 4), ya estudiados por
Arquímedes (287 a. C.-212 a. C.); y para los prismas
y antiprismas, donde las caras son polígonos regulares, pero de dos
tipos diferentes.
También se cumple para
algunos poliedros regulares no convexos, como el poliedro estrellado, de
la Figura 3, que es una ilustración de Leonardo da Vinci (1452-1519) para el
libro Divina proportione, de Luca Pacioli (1445–1517). Este poliedro es una
“estelación” del icosidodecaedro y tiene V = 62,
A = 180 y C = 120 triángulos.
Fig. 3. Poliedro estrellado.
(Crédito: Leonardo da Vinci [Public domain]
Desde
el punto de vista topológico, lo esencial de un poliedro es que sus caras
forman una superficie cerrada, es decir, limitada y sin borde. Las aristas son
así líneas dibujadas en la superficie, que se cortan en los vértices. En la
parte derecha de la Figura 4 queda claro que un poliedro es, esencialmente, una
esfera, con una cierta descomposición de su superficie en regiones. Como
veremos a continuación, esta idea es crucial para la demostración de la
Ecuación 1.
Fig. 4. Icosaedro truncado
(Crédito: AaronRotenberg [CC BY-SA 4.0]
Esta
ecuación, enunciada por Euler (1707-1783) [4], tiene muchas demostraciones diferentes.
Coxeter (1907-2003) dio en [5] la siguiente: recorramos las aristas del
poliedro de modo que pasemos una sola vez por cada uno de los V vértices. De
este modo tendremos un “árbol” que tiene V - 1 ramas, que son las
aristas recorridas (en la Figura 5 algunas aristas están repetidas). Cada
arista que falta en el árbol limita dos caras y por tanto podemos dibujar un
camino que conecte los C centros de las caras. Este camino es conexo, es decir,
puede llegarse de una cara a cualquier otra, ya que en caso contrario habría
dos caras separadas por un circuito cerrado del árbol, pero por definición un
árbol no tiene circuitos. Por otra parte, nuestro camino tampoco puede tener
circuitos, ya que separaría la superficie en dos partes, con algunos
vértices del primer árbol en cada una de ellas, lo que no puede ser. Así, el
segundo camino también es un árbol, y tiene C - 1 ramas. Ahora bien,
cada arista del poliedro es una rama de alguno de los dos árboles, de modo que
(V - 1) + (C - 1) = A,
que es la fórmula de Euler.
Fig.5. Demostración de la fórmula de Euler
(Crédito: Pixelmaniacpictures (Leave a reply) [Publicdomain] y elaboración propia.
La
propiedad esencial que se usa en la prueba anterior, puesta en valor por
Poincaré [6], es que, en una esfera y por tanto en todos los poliedros que
estamos considerando, cualquier curva cerrada simple trazada en ella la
desconectará. Se dice que la esfera es “simplemente conexa’’, o, lo que es lo
mismo, que tiene “género cero”. Dicho de manera más vaga, la esfera no tiene
“asas”.
En
cambio, un toro (Figura 6) tiene un asa, es decir, su género es
g = 1. Para un poliedro trazado en una superficie de género g, la “fórmula
de Euler-Poincaré” nos dará
V – A + C = 2 - 2g.
Fig. 6. Poliedro toroidal.
(Crédito: Dr. Ozan Yarman [CC BY-NC-SA 3.0]
Estas ideas llevaron, a principios del siglo
XX, a la clasificación de todas las superficies, y más recientemente a la
generalización, por Perelman (1966-), de esta clasificación a otras dimensiones
[7].
En
el Cosmos original de Carl Sagan, los sólidos platónicos aparecen dos
veces: cuando cuenta las ideas de los antiguos griegos sobre los elementos; y
cuando comenta la teoría de Kepler (1571-1630) sobre las órbitas de los
planetas. El mérito de estas especulaciones fue establecer el principio de que
es posible explicar el universo mediante modelos matemáticos. Siglos después, el
objetivo de las Matemáticas sigue siendo imaginar, a
partir de métodos geométricos y topológicos como los que hemos visto, todos los
mundos teóricos posibles y descartar después los que no se ajustan a las leyes
de la astrofísica.
Referencias:
[1] S. Álvarez , Polyhedra
in (inorganic) chemistry, Dalton Trans. 2209-2233
(2005), https://www.doi.org/10.1039/b503582c
[2] M. Mallo Zurdo, Sistemas radiolarios. Geometrías y
arquitecturas derivadas. Tesis doctoral. Universidad Politécnica de Madrid,
2015.
[4] L. Euler,
Elementa doctrinae solidorum, Euler Archive – Obras completas. E230 (1758). https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/230
[5]H.S.M. Coxeter, Regular polytopes. Methuen & Co. Ltd.
London, 1948.
[6]
H. Poincaré, Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux
polyèdres. Comptes Rendus Acad.Sci., t. 117, p. 144-145
(17 juillet 1893). http://analysis-situs.math.cnrs.fr/
[7] Virtual and manipulative geometrical and topological games,
Juegos Topológicos del Mago Moebius. https://topologia.wordpress.com/2009/03/04/la-conjetura-de-poincare/
Bibliografía:
(1)
Henar Lanza González. Matemática y física en el Timeo de Platón. Poliedros
regulares y elementos naturales. Praxis Filosófica Nueva serie, No. 40, enero-junio 2015:
85 – 112.
(2) Marjorie Senechal Editor. Shaping Space: Exploring Polyhedra in
Nature, Art, and the Geometrical Imagination. Springer, 2013.
(3) J. R. Weeks. The shape of space, Second Edition, Marcel Dekker,
2002.
(4) E.
Cabezas Rivas y V. Miquel Molina. Demostración de Hamilton-Perelman de las
conjeturas de Poincaré y Thurston, La Gaceta de la RSME, Vol. 9.1
(2006), 15–42.
Enrique Macías
Virgós.
Doctor
en Matemáticas.
Catedrático de Geometría
y Topología, Departamento de Matemáticas, Universidad de Santiago de
Compostela.
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